Аксиоматика теории вероятности.

Построение вероятностного места.

Поочередно строим вероятностное место.

Шаг 1:

Имеется испытание. В итоге проведения тесты может наблюдаться одно

событие из серии событий e. Все действия из системы e именуются наблюдаемыми.

Введем предположение, что если действия A Ì e, B Ì e наблюдаемы,

то наблюдаемы и действия

.

Система событий F именуется полем событий либо Аксиоматика теории вероятности. алгеброй событий, если для

2-ух случайных событий A, B Ì F производится:

1) Дополнения

2) (A+B) Î F, (A×B) Î F

3) все конечные суммы частей из алгебры принадлежат алгебре

4) все конечные произведения частей из алгебры принадлежат алгебре

5) все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.

Таким макаром, систему e мы расширяем до алгебры либо поля F Аксиоматика теории вероятности. методом включения

всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в

итоге проведения тесты наблюдаемая система является полем либо

алгеброй.

Огромное количество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой

системой - алгеброй, полем.

Шаг 2:

Каждому событию A Î F ставим в соответствие число P(A), которое именуется

вероятностью пришествия действия A. Такая операция задает вероятностную

меру Аксиоматика теории вероятности..

Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой

являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера

удовлетворяет системе из 3-х аксиом.

1.

2. P(U)=1.

3. Разглядим конечную либо нескончаемую систему попарно несовместных

событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

. Если , то .

Алгебра событий именуется s - алгеброй, если эта система событий содержит в

для себя все Аксиоматика теории вероятности. конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, также

все нескончаемые суммы и произведения из алгебры и их дополнения.

Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все

конечные интервалы вида a³x>b, b¹a.

Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской

алгебры Аксиоматика теории вероятности., элементы которой именуются борелевскими огромными количествами. Борелевская

алгебра выходит не только лишь расширением поля вида a³x>b, да и

расширением полей вида a>x³b, a³x³b.

Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера -

числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F Аксиоматика теории вероятности., т.е.

действия. Она удовлетворяет последующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

1.

. P(A) - число, принадлежащее сектору [0, 1] и называющееся вероятностью

пришествия действия A.

2. P(A) Î [0, 1] P(U)=1.

3. Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий

Если , то .

Лекция 1.

Предмет теории вероятностей. Случайные действия. Алгебра событий. Относитель-ная частота Аксиоматика теории вероятности. и возможность случайного действия. Полная группа событий. Классичес-кое определение вероятности. Главные характеристики вероятности. Главные формулы комбинаторики.

В разных разделах науки и техники часто появляются ситуации, когда итог каждого из многих проводимых опытов заблаговременно предвидеть нереально, но можно изучить закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, напри-мер, точно сказать Аксиоматика теории вероятности., какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб либо цифра — но при большенном количестве бросков число выпадений герба приближается к по-ловине количества бросков; нельзя заблаговременно предсказать итог 1-го выстрела из дан-ного орудия по данной цели, но при большенном числе выстрелов частота попадания прибли-жается к Аксиоматика теории вероятности. некому неизменному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Главным интуитивным понятием традиционной теории вероятностей является случайное событие. Действия, которые могут произойти в итоге опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие — событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) неосуществимое событие — событие, которое в итоге опыта Аксиоматика теории вероятности. произойти не может;

в) случайное событие — событие, которое может или произойти, или не произойти. К примеру, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превосходящего 6, неосуществимым — выпадение 10 очков, а случайным — выпадение 3 очков.

Алгебра событий.

Определение 1.1. Суммой А+В 2-ух событий А и В именуют событие, состоящее в том, что вышло хотя Аксиоматика теории вероятности. бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, именуется событие, заключающееся в том, что вышло хотя бы одно из этих событий.

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А — попадание первого стрелка, а событие В — второго, то сумма А+В — это хотя бы Аксиоматика теории вероятности. одно попадание при 2-ух выстрелах.

Пример 2. Если при броске игральной кости событием Аi именовать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3.

Назовем все вероятные результаты данного опыта его финалами и представим, что огромное количество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов Аксиоматика теории вероятности., подходящих событию А), можно представить в виде некой области на плоскости. Тогда огромное количество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, подходящих событиям А либо В (рис. 1).


А В А + В


Рис.1.

Определение 1.2. Произведением АВсобытий А и В именуется событие, состоящее в том Аксиоматика теории вероятности., что вышло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событийименуется событие, заключающееся в том, что произошли все эти действия.

Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих стрелков.

Пример 4. Если событие А заключается в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а Аксиоматика теории вероятности. событие В — в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из колоды дамы пик.

Геометрической иллюстрацией огромного количества исходов опыта, подходящих возникновению произведения событий А и В, является скрещение областей, соответственных финалам, подходящим А и В.


А В АВ


Рис.2.

Определение 1.3. Разностью А\B событий А и В Аксиоматика теории вероятности. именуется событие, состоящее в том, что А вышло, а В — нет.

Пример 5. Вернемся например 1, где А\ В — попадание первого стрелка при промахе второго.

Пример 6. В примере 4 А\В — извлечение из колоды хоть какой карты пиковой масти, не считая дамы. Напротив, В \А — извлечение дамы хоть какой масти, не считая пик Аксиоматика теории вероятности..


А В А - В

Рис.3.

Введем еще несколько категорий событий.

Определение 1.4. Действия А и В именуются совместными, если они могут произойти оба в итоге 1-го опыта. В неприятном случае (другими словами если они не могут произойти сразу) действия именуются несовместными.

Примеры: совместными событиями являются попадания 2-ух стрелков в Аксиоматика теории вероятности. примере 1 и возникновение карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными — действия А1 — А6 в примере 2.

Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, подходящих несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является неосуществимым событием.

Определение 1.5. Молвят, что действия А1, А Аксиоматика теории вероятности.2,…,Ап образуют полную группу, если в итоге опыта непременно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Замечание. А именно, если действия, образующие полную группу, попарно несовмест-ны, то в итоге опыта произойдет одно и только одно из их. Такие действия именуютпростыми событиями.

Пример. В примере 2 действия А1 — А6 (выпадение Аксиоматика теории вероятности. 1-го, 2-ух,…, 6 очков при одном броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.

Определение 1.6. Действия именуются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из их является более вероятным, чем другое.

Примеры: выпадение хоть какого числа очков при броске игральной кости, возникновение хоть какой карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба либо Аксиоматика теории вероятности. числа при броске монеты и т.п.


akademiya-hudozhestv-universitetskaya-naberezhnaya-arhitektor-kokorinov-zakanchival-vallen-delamot-1764-1778gg.html
akademiya-modelnogo-iskusstva-savroks-models.html
akademiya-tanca-gracheva-svetlana-pn-1845-sr-1845-pt-2000.html