Аксиоматический метод в геометрии - доклад

Аксиоматический способ появился в Старой Греции, а на данный момент применяется во всех теоретических науках, сначала в арифметике.

Аксиоматический способ построения научной теории заключается в последующем : выделяются главные понятия, формулируются теоремы теории, а все другие утверждения выводятся логическим оковём, делая упор на их.

Главные понятия выделяются последующим образом. Понятно, что одно понятие Аксиоматический метод в геометрии - доклад должно разъясняться при помощи других, которые, в свою очередь, тоже определяются при помощи каких-либо узнаваемых понятий. Таким макаром, мы приходим к простым понятиям, которые нельзя найти через другие. Эти понятия и именуются основными.

Когда мы доказываем утверждение, аксиому, то опираемся на предпосылки, которые числятся уже доказанными. Но Аксиоматический метод в геометрии - доклад эти предпосылки тоже доказывались, их необходимо было доказать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без подтверждения. Эти утверждения именуются теоремами. Набор аксиом должен быть таким, чтоб, делая упор на него, можно было обосновать последующие утверждения.

Выделив главные понятия и сформулировав аксимы, дальше мы выводим Аксиоматический метод в геометрии - доклад аксиомы и другие понятия логическим оковём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Теоремы и главные понятия составляют основания планиметрии.

Потому что нельзя дать единое определение главных понятий для всех геометрий, то главные понятия геометрии следует найти как объекты хоть какой природы, удовлетворяющие теоремам этой геометрии. Таким макаром, при аксиоматическом Аксиоматический метод в геометрии - доклад построении геометрической системы мы исходим из некой системы аксиом, либо аксиоматики. В этих теоремах описываются характеристики главных понятий геометрической системы, и мы можем представить главные понятия в виде объектов хоть какой природы, которые владеют качествами, обозначенными в теоремах.

После формулировки и подтверждения первых геометрических утверждений становится вероятным Аксиоматический метод в геометрии - доклад обосновывать одни утверждения (аксиомы) при помощи других. Подтверждения многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого периодического курса геометрии, основанного на определениях и теоремах. Этот курс и его следующие обработки назывались "Элементы".

Позже, в III в. до н.э., в Александрии появилась книжка Евклида с этим же Аксиоматический метод в геометрии - доклад заглавием, в российском переводе "Начала". От латинского наименования "Начал" произошёл термин "простая геометрия". Невзирая на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некое мировоззрение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически очень не достаточно связанные с другими разделами Аксиоматический метод в геометрии - доклад. Возникновение их разъясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книжек. 1 - 6 книжки посвящены планиметрии, 7 - 10 книжки - об математике и несоизмеримых величинах, которые можно выстроить при помощи циркуля и линейки. Книжки с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются с изложения 23 определений и Аксиоматический метод в геометрии - доклад 10 аксиом. 1-ые 5 аксиом - "общие понятия", другие именуются "постулатами". 1-ые два постулата определяют деяния при помощи безупречной линейки, 3-ий - при помощи безупречного циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны меж собой", является лишним, потому что его можно вывести из других аксиом. Последний, 5-ый постулат говорил : "Если ровная падает на две прямые и образует внутренние Аксиоматический метод в геометрии - доклад однобокие углы в сумме меньше 2-ух прямых, то, при неограниченном продолжении этих 2-ух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше 2-ух прямых".

5 "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : "равные одному и тому же равны меж собой", "если к равным прибавить равные Аксиоматический метод в геометрии - доклад, суммы равны меж собой", "если от равных отнять равные, остатки равны меж собой", "совмещающиеся вместе равны меж собой", "целое больше части".

Дальше началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам : за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно выстроить при помощи циркуля и линейки; за Аксиоматический метод в геометрии - доклад то, что он разрывал геометрию и математику и обосновывал для целых чисел то, что уже обосновал для геометрических величин, и, в конце концов, за теоремы Евклида. Более очень критиковали 5-ый постулат, самый непростой постулат Евклида. Многие считали его излишним, и что его можно и необходимо вывести из других аксиом. Другие считали Аксиоматический метод в геометрии - доклад, что его следует поменять более обычным и приятным, равносильным ему : "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости менее одной прямой, не пересекающей данную прямую".

Критика разрыва меж геометрией и математикой привела к расширению понятия числа до реального числа. Споры о 5-ом постулате привели к Аксиоматический метод в геометрии - доклад тому, что сначала XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс выстроили новейшую геометрию, в какой производились все теоремы геометрии Евклида, кроме 5-ого постулата. Он был заменён обратным утверждением : "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была настолько же Аксиоматический метод в геометрии - доклад непротиворечивой, как и геометрия Евклида.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую (см. набросок 1). Эта ровная именуется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского именуется открытая полуплоскость, лежащая Аксиоматический метод в геометрии - доклад выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте либо отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту Аксиоматический метод в геометрии - доклад. Два неевклидовых отрезка равны, если какой-то из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы главные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Все теоремы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой последующее : "Неевклидова ровная - это полуокружность с концами на абсолюте либо луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким макаром Аксиоматический метод в геометрии - доклад, утверждение теоремы параллельности Лобачевского производится не только лишь для некой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, да и для хоть какой прямой a и хоть какой не лежащей на ней точки A

За геометрией Лобачевского появились и другие непротиворечивые геометрии : от евклидовой отделилась проективная геометрия Аксиоматический метод в геометрии - доклад, сложилась многомерная евклидова геометрия, появилась риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет перевоплотился в совокупа различных теорий, только в чём-то схожих со собственной прародительницей - геометрией Евклида.


akademik-skochinskij-aa-referat.html
akademikom-sitinim-gn.html
akademiya-centr.html