Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.

Для всех непустых подмножеств и числовой прямой , владеющих тем свойством, что , существует, по последней мере, одно такое число , которое делит эти огромного количества, т.е. .

(Образно говоря, теорема непрерывности говорит, что огромное количество вещественных чисел не имеет дыр.)

Меньшая из верхних граней огромного количества именуется четкой верхней гранью этого огромного Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. количества, а большая из его нижних граней именуется четкой нижней гранью этого огромного количества.

(Четкая верхняя грань огромного количества обозначается эмблемой , а четкая нижняя грань огромного количества обозначается ).

2-ое определение четкой верхней грани:

Число именуется четкой верхней гранью огромного количества , если

1) и

2) .

(Условие 1) тут значит, что С- верхняя грань огромного количества , а условие Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. 2), в свою очередь, значит, что никакое число, наименьшее чем С, верхней гранью огромного количества уже не является и, как следует, число C является меньшей из верхних граней огромного количества )

2-ое определение четкой нижней грани:

Число именуется четкой нижней гранью огромного количества если

1) (⇒ с – нижняя грань ) и

2) (⇒, с учетом j), c – меньшая нижняя грань Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. ).

(Не всякое числовое огромное количество имеет больший, как и меньший элемент. Так, к примеру, хоть какой интервал не имеет ни большего, ни меньшего частей, а обе его четкие грани есть , при всем этом , а ; хоть какой полуинтервал не имеет большего элемента, но имеет меньший элемент, а хоть какой полуинтервал имеет больший Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. элемент, но не имеет меньшего.)

Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.

Число (точка) именуется пределом последовательности , если для хоть какого существует таковой номер , что для всех натуральных имеет место неравенство .

(Обозначение: , либо (также при ))

Короткое, символическое определение: Û

Геометрическая форма определения предела последовательности:

Интервал Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. = именуется -округой точки .

Потому что Û Û Û

То Û

В конце концов, определение предела числовой последовательности может быть сформулировано последующим образом: Число (точка) именуется пределом последовательности , если все ее члены, начиная с некого номера, принадлежат хоть какой наперед данной округи точки .

Если числовая последовательность имеет предел, то молвят, что она сходится и Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. именуют ее сходящейся. В неприятном случае, т.е. если она не имеет предела, молвят, что она расползаетсяи именуют ее расходящейся.

(Разумеется, что если последовательность сходится (расползается), то сходящейся (расходящейся) будет и последовательность приобретенная из нее добавлением либо исключением из нее конечного числа членов, при всем этом в случае сходимости начальной последовательности новенькая Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. последовательность, будет иметь тот же предел, что и начальная. )

Единственность предела.

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Числовая последовательность именуется

А) ограниченной, если :

Б) ограниченной сверху, если :

В) ограниченной снизу, если

Всякаясходящаяся последовательность ограничена.

(Утверждение оборотное к утверждению последней аксиомы, вообщем говоря, ошибочно.)

Пример 1.Разглядим последовательность такую, что , . Эта последовательность Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. представляет собой чередующиеся числа :

.

Разумеется, она ограничена

Но если , то каково бы ни было числа сразу не могут принадлежать -окрестности , потому что расстояние меж точками и равно

и при меньше 2-ух, а расстояние меж 2-мя примыкающими точками рассматриваемой последовательности равно двум и как следует они сразу Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. не могут принадлежать таковой -окрестности хоть какой точки .

Пример (стационарные последовательности). Последовательность именуется стационарной , если все ее члены кроме может быть конечного их числа равны одному и тому же вещественному числу , т.е. если такое, что .

Разумеется, всякая стационарная последовательность сходится и ее предел равен тому числу , которому равны все Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. ее члены кроме конечного их числа.

Разумеется, для хоть какого вещественного числа существует единственное целое число такое, что

.

Оно именуется целой частью числа и обычно обозначается .

6. Арифметические характеристики сходящихся последовательностей.

7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).

8. Однообразные последовательности. Аксиома о пределе однотонной последовательности.

9. Применение аксиомы о пределе однотонной последовательности к вычислению пределов Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств..

Число e.

«Существует ли предел последовательности , и если существует, то чему равен этот предел»? Для того, чтоб дать ответ нам этот вопрос пригодится последующая лемма:

Лемма 1. Для хоть какого и хоть какого справедливо неравенство (1) Д о к а з а т е л ь с т в Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. о. Проведем его по индукции. При n = 1 неравенство (1), разумеется, производится как равенство (вообщем при любом ).Представим, что оно справедливо при n = k, т.е. представим, что .Тогда , т.е. оно справедливо и при n = k + 1. Таким макаром, в согласовании с способом математической индукции неравенство (1) правильно .ÿ

Замечание 1. Направьте внимание на Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. то, где мы при подтверждении пользовались условием, что .

Лемма 2. Существует предел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Разглядим поначалу последовательность , Используя неравенство Бернулли, при будем иметь:

Таким макаром, и как следует , другими словами последовательность - убывающая.

Не считая того, разумеется, что последовательность положительная . Как Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. следует, она ограничена снизу. Потому существует предел Ворачиваясь к интересующей нас последовательности , , лицезреем, что . Так как есть пределы: и , то по аксиоме о пределе произведения последовательностей существует и предел т.е. предел ■

Замечание 2. Этот предел обозначают буковкой e и именуют числом e. Можно обосновать, что число e иррациональное. В текущее время Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. оно вычислено с большей степени точности а именно, в границах первых пятнадцати символов после запятой

e = 2,718281828459045…


akademii-upravleniya-mvd-rossii.html
akademik-fedor-grigorevich-uglov.html
akademik-mironova-vyu-o-centrosome-kletok-miokard.html